请问巫师 #261

为了协助回答这个问题, 我画出NFL美式⾜球每周的平均得分数, 基于 1983-2009年每个球季。以下的图表显⽰其结果。

你可以看⻅, 曲线是起起伏伏的。⿊⾊实线是least-squared best fit line最 ⼩平⽅误差的回归线, 总体来说是朝上的趋势。所以当球季进⾏时, ⽓温下 降, 平均得分渐渐增加, 不过那可能轻易是因为随机的变化。

这是⺫前为⽌我所能说的。针对天⽓影响运动押注的⼀般意⻅, 我转给我 的朋友Jason Been, 他是这个议题的专家。在这⾥他曾说过:

在⼤多数案例, ⻛是天⽓最主要影响⽐赛的因素; 不过, 这并⾮唯⼀的⼀项 因素。在棒球与其他的户外运动, 阴影可以是相同的效应, 尤其是在球季早 期与晚期的下午⽐赛。下⾬或下雪在⾜球来说、并⾮⼤多数⼈所想的那 般、会是很⼤的因素, 因为同样都会影响到攻击与防守的两⽅。⼀个案例 将会是防守⽅对抗⻓程的接球者。下⾬和下雪将会同样拖延双⽅, 因此不 会有哪⼀⽅得到优势。⻛在⾜球踢球时可以消除传球的效⼒。我就⻅过⽐ 赛当中, 传球的⼀⽅被逼着在强劲侧⻛当下每次都得要跑着传球。这并不 常发⽣, 不过⻛的因素最终将会影响到⽐赛的进⾏。

我曾就此问题咨询过一位前拉斯维加斯赌桌游戏经理。他说，赔率投注超过允许的线注倍数的部分将按位置投注赔率支付。这个问题在我的同伴网站“拉斯维加斯巫师”的论坛上被提出并讨论过。

根据2000-2009年NFL美式⾜球的球季, 答案是57%.

BBC 节目《相当有趣》讨论了这个谜题。向下滚动 100 行即可查看答案和解答。

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以下是我根据每个初始目标计算出的 A 获胜的概率。如你所见，故意向空中射击可以最大化 A 的获胜概率。

为了解答这个问题，我们用 Pr(X) 表示一轮之后 X 组（且仅剩 X 组）存活的概率。用 Pr(X*) 表示 X 组最终赢得该轮的概率，重复此过程直至游戏状态因有人被击中而发生变化。用 Pr(X**) 表示玩家 X 是唯一幸存者的概率。为了找到最终的概率，我们先来看看两人的状态。显然，双方都会向对方射击。

A 与 B

• Pr(A) = 0.1
  
• Pr(B) = 0.9×0.6 = 0.54
  
• Pr(AB) = 0.9×0.4 = 0.36

如果两人都幸存下来，那么他们将重复这个过程，直到只剩下一个幸存者。因此，最终幸存者的概率为：

• Pr(A*) = Pr(A)/(1-Pr(AB)) = 0.1/0.64 = 0.15625
  
• Pr(B*) = Pr(B)/(1-Pr(AB)) = 0.54/0.64 = 0.84375

A 与 C

• Pr(A) = 0.1
  
• Pr(C) = 0.9×0.9 = 0.81
  
• Pr(AC) = 0.9×0.1 = 0.09

如果两人都幸存下来，那么他们将重复这个过程，直到只剩下一个幸存者。因此，最终幸存者的概率为：

• Pr(A*) = Pr(A)/(1-Pr(AC)) = 0.1/0.91 = 0.10989011
  
• Pr(C*) = Pr(B)/(1-Pr(AC)) = 0.81/0.91= 0.89010989

B 与 C

• Pr(B) = 0.6
  
• Pr(C) = 0.4×0.9 = 0.36
  
• Pr(BC) = 0.$×0.1 = 0.04

如果两人都幸存下来，那么他们将重复这个过程，直到只剩下一个幸存者。因此，最终幸存者的概率为：

• Pr(B*) = Pr(A)/(1-Pr(BC)) = 0.6/.96 = 0.625
  
• Pr(C*) = Pr(B)/(1-Pr(BC)) = 0.36/.96= 0.375

现在我们来分析三人的情况。我们先来考虑一下 A 瞄准 B 的情况。

三人游戏——A 瞄准 B

如果A击中B，那么C肯定能幸存，但可能击中A，也可能击不中。因此，击中B的两种可能结果是AC和C。如果A击中B未击中，那么B会瞄准威胁更大的C。如果B击中C，那么A和B都能幸存。如果B击中C未击中，那么C会瞄准威胁更大的B。如果C击中B未击中，那么A和C都能幸存。如果C击中B，那么A和C都能幸存。因此，可能的结果是C、AB、AC和ABC。

• Pr(A) = 0。
• Pr(B) = 0。
• Pr(C) = 0.1 × 0.9 = 0.09。这是通过 A 击中 B，然后 C 击中 A 实现的。
• Pr(AB) = 0.9 × 0.6 = 0.54。这是通过 A 击中 B，然后 B 击中 C 实现的。
• Pr(AC) = 0.1 × 0.1 + 0.9 × 0.4 × 0.9 = 0.334。这可以通过两种方式实现。第一种是 A 命中 B，然后 C 未命中 A。第二种是 A 未命中 B，B 未命中 C，然后 C 命中 B。
• Pr(BC) = 0。
• Pr(ABC) = 0.9 × 0.4 × 0.1 = 0.036。这是通过三项全部缺失实现的。

按照与双人情况相同的逻辑，我们可以将每个结果除以 (1-Pr(ABC))=0.964 来找到每个状态的概率，假设游戏状态在回合之后确实发生了变化。

• Pr(C*) = 0.09/0.964 = 0.093361。
  
• Pr(AB*) = 0.54/0.964 = 0.560166。
  
• Pr(AC*) = 0.334/0.964 = 0.346473。

从双人对决的情况来看，如果是A和B，那么A获胜的概率为0.15625，B获胜的概率为0.84375。如果是A和C，那么A获胜的概率为0.109890，C获胜的概率为0.890110。

• Pr(A**) = (0.560165975 × 0.15625) + (0.346473029 × 0.10989011) = 0.125600。A 可以通过两种方式获胜：(1) 进入 AB 状态，然后获胜；(2) 进入 AC 状态，然后获胜。
• Pr(B**) = 0.560166 × 0.84375 = 0.472640。如果B进入AB状态，则B获胜，B为胜者。
• Pr(C**) = 0.093361 + (0.346473 × 0.890110) = 0.401760。C 可以通过 A 杀死 B，然后 C 在第一轮杀死 A 来获胜，或者通过进入状态 AC，然后 C 获胜。

因此，如果 A 的策略是首先瞄准 B，那么他成为唯一幸存者的概率是 12.56%。

三人游戏——A 瞄准 C

如果A击中C，那么B肯定会幸存，但可能会击中A，也可能不会。因此，击中C的两种可能结果是AB和B。如果A没有击中C，那么B会瞄准威胁更大的C。如果B击中C，那么A和B都会幸存。如果B没有击中C，那么C会瞄准威胁更大的B。如果C没有击中B，那么A和B都会幸存。如果C击中B，那么A和C都会幸存。因此，可能的结果是B、AB、AC和ABC。

• Pr(A) = 0。
• Pr(B) = 0.1 × 0.6 = 0.06。
• Pr(C) = 0。
• Pr(AB) = (0.1 × 0.4) + (0.9 × 0.6) = 0.04+0.54 = 0.58。这可以通过两种方式实现。第一个是 A 击中 C，然后 B 击中 A。第二个是 A 击中 B，然后 B 击中 C。
• Pr(AC) = 0.9 × 0.4 × 0.9 = 0.324。这是通过 A 缺失 C、B 缺失 C 以及 C 命中 B 实现的。
• Pr(BC) = 0。
• Pr(ABC) = 0.9 × 0.4 × 0.1 = 0.036。这是通过三项全部缺失实现的。

按照与双人情况相同的逻辑，我们可以将每个结果除以 (1-Pr(ABC))=0.964 来找到每个状态的概率，假设游戏状态在回合之后确实发生了变化。

• Pr(B*) = 0.06/0.964 = 0.062241。
  
• Pr(AB*) = 0.58/0.964 = 0.601660。
  
• Pr(AC*) = 0.324/0.964 = 0.336100。

按照与 A 针对 B 的情况的解决方案相同的逻辑：

• Pr(A**) = (0.601660 × 0.15625) + (0.336100 × 0.10989011) = 0.130943。
• Pr(B**) = 0.062241 + 0.601660 × 0.84375 = 0.569891。
• Pr(C**) = 0.336100 × 0.890110 = 0.299166。

因此，如果 A 的策略是首先瞄准 C，那么他成为唯一幸存者的概率是 13.09%。

三人 — A 故意失手

A故意射偏后，B会瞄准威胁更大的C。如果B击中C，A和B都会幸存。如果B射偏C，C会瞄准威胁更大的B。如果C射偏B，A和B都会幸存。如果C射偏B，A和C都会幸存。因此，可能的结果是AB、AC和ABC。

• Pr(A) = 0。
• Pr(B) = 0。
• Pr(C) = 0。
• Pr(AB) = 0.6。这是通过 B 击中 C 实现的。
• Pr(AC) = 0.4 × 0.9 = 0.36。这是通过 B 未命中 C，然后 C 命中 B 实现的。
• Pr(BC) = 0。
• Pr(ABC) = 0.4 × 0.1 = 0.04。这是通过全部三个缺失来实现的。

按照与双人情况相同的逻辑，我们可以将每个结果除以 (1-Pr(ABC))=0.96 来找到每个状态的概率，假设游戏状态在回合之后确实发生了变化。

• Pr(AB*) = 0.6/0.96 = 0.625。
  
• Pr(AC*) = 0.36/0.96 = 0.375。

按照与 A 针对 B 的情况的解决方案相同的逻辑：

• Pr(A**) = (0.625 × 0.15625) + (0.375 × 0.109890) = 0.138865。
• Pr(B**) = 0.625 × 0.84375 = 0.527344。
• Pr(C**) = 0.375 × 0.890110 = 0.333791。

因此，如果 A 的策略是首先瞄准 C，那么他成为唯一幸存者的概率是 13.89%。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。