请问巫师 #258
你认为在计算彩票的预期价值时，应该把分红奖金的概率考虑进去吗？如果是，这个概率是多少？
我确实认为，在决定购买彩票时，这是一个应该考虑的因素，尽管它的影响可能不大。为了回答您的问题，我使用了lottoreport.com 网站上的头奖金额和销售数据。我查看了 2008 年 1 月以来的强力球彩票数据，因为该网站目前只有这方面的数据。我还查看了 2005 年 6 月以来的超级百万彩票数据，当时规则有所调整。下表总结了我的结果。
强力球和超级百万彩票的分割奖金
| 物品 | 强力球 | 超级百万 |
| 赢得大奖的概率 | 195,249,054分之1 | 175,711,536分之一 |
| 提供的平均累积奖金 | 73,569,853美元 | 65,792,976美元 |
| 每次抽奖的平均销售额 | 23,051,548 美元 | 25,933,833美元 |
| 每期抽奖的平均预期获胜者 | 0.118 | 0.148 |
| 每次抽奖中分红奖金的平均概率 | 0.74% | 1.29% |
| 因共享大奖而造成的回报损失（未经调整） | 4.01% | 6.59% |
| 因共享大奖而造成的回报损失（已调整） | 1.41% | 2.31% |
因此，强力球彩票中头奖被分割的平均概率为 0.74%，超级百万彩票中头奖被分割的概率为 1.29%。随着头奖金额的增加和彩票销量的上升，分割头奖的概率也会随之上升。超级百万彩票中头奖被分割的概率之所以更高，是因为中奖概率更高，而且来自其他玩家的竞争也更激烈。
综合考虑所有因素，我得出的结论是，强力球彩票因奖金分享机制损失了4.01%，超级百万彩票则损失了6.59%。然而，这些数字并未考虑税收，也未考虑奖金以年金的形式支付。为了进行调整，我假设玩家只能获得一半的奖金，要么选择一次性领取，要么选择年金支付。我还假设剩余奖金的30%用于纳税，因此扣除这两个因素后，中奖者预计可以获得35%的奖金。经过调整后，我得出的结论是，强力球彩票因奖金分享机制损失了1.20%，超级百万彩票则损失了1.98%。
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
牌九扑克中前手、后手、以及同时出现平局的概率是多少？
基于对77亿手牌的模拟，假设玩家遵循庄家的规则，前手牌（低手牌）出现平局的概率为2.55%，即1/39.24。后手牌（高手牌）出现平局的概率为0.038%，即1/2,637。双平局的概率约为1/78,200。
72法则指的是，用年回报率除以72，就能算出你的资金翻倍所需的年数。例如，一项年回报率为10%的投资，需要72/10=7.2年才能翻倍。我有个有点无聊的问题：为什么是72年？
首先，“72法则”只是对资金翻倍所需时间的近似估计，而非确切答案。下表列出了不同年利率下“72法则”的数值以及确切的年数。
72法则——金钱翻倍的年限
| 利率 | 72法则 | 精确的 | 不同之处 |
|---|---|---|---|
| 0.01 | 72.00 | 69.66 | 2.34 |
| 0.02 | 36.00 | 35.00 | 1.00 |
| 0.03 | 24.00 | 23.45 | 0.55 |
| 0.04 | 18.00 | 17.67 | 0.33 |
| 0.05 | 14.40 | 14.21 | 0.19 |
| 0.06 | 12.00 | 11.90 | 0.10 |
| 0.07 | 10.29 | 10.24 | 0.04 |
| 0.08 | 9.00 | 9.01 | -0.01 |
| 0.09 | 8.00 | 8.04 | -0.04 |
| 0.10 | 7.20 | 7.27 | -0.07 |
| 0.11 | 6.55 | 6.64 | -0.10 |
| 0.12 | 6.00 | 6.12 | -0.12 |
| 0.13 | 5.54 | 5.67 | -0.13 |
| 0.14 | 5.14 | 5.29 | -0.15 |
| 0.15 | 4.80 | 4.96 | -0.16 |
| 0.16 | 4.50 | 4.67 | -0.17 |
| 0.17 | 4.24 | 4.41 | -0.18 |
| 0.18 | 4.00 | 4.19 | -0.19 |
| 0.19 | 3.79 | 3.98 | -0.20 |
| 0.20 | 3.60 | 3.80 | -0.20 |
为什么是 72？不一定非要恰好是 72。这只是一个与实际投资利率相符的数字。它几乎恰好对应于 7.8469% 的利率。72 本身并没有什么特别之处，就像 π 或 e 一样。为什么任何数字都可以呢？假设利率是 i，那么我们来计算一下投资翻倍所需的年数 (y)。
2 = (1+i) y
ln(2)= ln(1+i) y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)
这可能不是我迄今为止最好的答案，但请尝试遵循这个逻辑：让 y=ln(x)。
dy/dx=1/x。
当 x 的值接近于 1 时，1/x =~ x。
因此，当 x 值接近于 1 时，dy/dx =~ 1。
因此，当 x 值接近 1 时，ln(x) 的斜率将接近 1。
因此，当 x 值接近于 0 时，ln(1+x) 的斜率将接近于 1。
“72 规则”是指 .72/i =~ .6931/ln(1+i)。
我们已经确定，当 i 的值接近于 0 时，i 和 ln(1+i) 相似。
因此，当 i 的值接近于 0 时，1/i 和 1/ln(1+i) 相似。
使用 72 而不是 69.31 可以调整 i 和 ln(1+i) 之间的差异，使 i 的值在 8% 左右。
希望你理解得通。我的微积分学得有点生疏，我花了好几个小时才解释清楚。
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
一个人收到两个装满钱的信封。其中一个信封里的钱是另一个信封的两倍。这个人选好信封，打开并清点金额后，可以选择用另一个信封换一个。问题是，换信封对这个人有什么好处吗？
由此看来，如果最初的信封金额较小，那么通过调换，该男子有50%的概率使钱翻倍；如果最初的信封金额较大，那么有50%的概率使钱减半。因此，设x为最初的信封金额，y为调换后的金额：
y = 0.5×(x/2) + 0.5×(2x) = 1.25x
假设第一个信封里有 100 美元。那么，另一个信封里有 2 × 100 美元 = 200 美元的概率是 50%，另一个信封里有 (1/2) × 100 美元 = 50 美元的概率也是 50%。在这种情况下，信封的价值为：
0.5×(100美元/2) + 0.5×(2×100美元) = 125美元
这意味着，这位男士仅仅通过交换信封，平均就能增加25%的财富！这怎么可能呢？
这看似一个数学悖论，但实际上只是对期望值公式的滥用。正如你在问题中提到的，另一个信封里的钱似乎应该比你选择的那个多25%。然而，如果你买了那个信封，那么你一开始就应该选择另一个信封。此外，如果你在决定换信封之前没有打开信封，你就可以永远用这个论点来回切换。显然，期望值论证中一定存在一些缺陷。问题是，缺陷在哪里？
这些年来，我花了很多时间阅读和讨论这个问题。我听过和读过很多关于为什么 y=.5x + .5*2x = 1.25x 的论证是错误的解释。很多人用了好几页的高等数学来解释，但我认为没有必要。这是一个简单的问题，需要一个简单的答案。所以，这是我的尝试。
你必须非常谨慎地处理这样一个事实：一个信封里的钱是另一个信封里的两倍。我们把小信封里的钱记为S，大信封里的钱记为L。这样：
长=2×小
S=0.5×L
请注意 2 和 0.5 因子是如何应用于不同信封的。您不能同时采用这两个因子并将它们应用于相同的金额。如果第一个信封中有 100 美元，那么如果是较小的信封，另一个信封中就有 200 美元。如果 100 美元是较大的信封，那么另一个信封中就有 50 美元。因此，另一个信封中有 50 美元或 200 美元。但是，您不能由此跳到说每个信封中有 50% 的概率。这是因为那样就等于将 0.5 和 2 因子应用于相同的金额，而您无法做到这一点。如果一开始就不知道奖金分配情况，您就无法将可能的金额分配给第二个信封。
如果 0.5x/2x 的论点是错误的，那么如何正确设定另一个信封的预期值呢？我会这样说：两个信封之间的差额为 LS = 2S-S = S。交换信封，你要么获得 S，要么损失 S，无论它是多少。如果两个信封分别有 50 美元和 100 美元，那么交换信封将获得或损失 50 美元。如果两个信封分别有 100 美元和 200 美元，那么交换信封将获得或损失 100 美元。无论哪种方式，交换信封的预期收益都是 0。我想我可以说，如果第一个信封有 100 美元，那么另一个信封的差额有 50% 的可能性是 50 美元，有 50% 的可能性是 100 美元。所以预期差额是 75 美元。因此，另一个信封的预期价值为 0.5×($100+$75) + 0.5×($100-$75) = 0.5×($175+$25) = $100。
希望以上信息对您有所帮助。这个问题总是会引发很多评论。如果您有意见，请不要直接写信给我，而是在我的“维加斯巫师”论坛上发帖。链接如下。
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
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