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请问巫师 #253

我不明白为什么在您的德州扑克实力表中 A-7 的排名低于 KJ 同花，但在您的计算器上 A7 的获胜概率更高。

Francisco

好问题。为了方便其他读者，以下是双人游戏中，这两手起手牌对抗随机牌的概率：

KJ 同花 vs. A-7 不同花

手赢失去画预期价值
钾J 0.6148 0.3634 0.0218 0.2513
一个7 0.5717 0.3949 0.0334 0.1768

然而，根据我的双人德州扑克计算器，这两手牌互相面对的概率是：

A7 胜率 = 53.52%
KJ 胜率 = 46.10%
平局 = 0.39%

所以，在我的牌表中，KJ 同花的排名更高，但在对局中却不如 A7 异花。为什么？

答案很难解释。当两手牌互相对抗时，你必须考虑它们如何相互作用。例如，在起手牌强度表中，非同花AK仅略优于非同花AQ，预期值分别为0.3064和0.2886。然而，如果将它们互相对抗，AK会压倒AQ，如下所示：

AK 获胜率 = 71.72%
AQ 获胜 = 23.69%
平局 = 4.58%

在A7异花对阵KJ同花的比赛中，A比K和J高出一筹。KJ玩家获胜的最大机会是，他拿到了K或J，并且没有A出现。我计算出这种情况的概率只有37.73%。其余46.10%的KJ获胜概率来自更大的牌。

尽管 A7 对抗 KJ 很强，但它更容易被随机牌所压制。

也许这个比喻不太恰当，但它有点像石头剪刀布游戏。对于技艺娴熟的玩家来说，每次出手的力量等级应该大致相同。然而，如果一个玩家出布，另一个出剪刀，那么力量等级就毫无意义，剪刀会赢。

在拉斯维加斯的 Bighorn and Longhorn 赌场，他们允许在 21 点游戏中三张牌加倍。根据这条规则，我应该调整策略吗？

Dr. Baker 来自 Walnut Grove, MN

我的“拉斯维加斯巫师”网站的一位读者说，相对于庄家拿到软 17 点的标准多副牌策略，应该做出以下改变：

  • 击中软 13 对抗 5 或 6
  • 击中 2 张软 15 点对 4 点
  • 命中 3,3 对 2

击中软牌的原因是，击中后你可能会得到更好的软加倍。根据此规则，击中3的价值更高，因为击中A可以算作一个好的3张加倍。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

如果将一枚硬币抛 100 次，那么至少有一次连续出现 7 次正面的概率是多少？

Don 来自 New York

我不知道这个问题是否有一个简单的、非递归的表达式来表达。但是，有一个简单的递归表达式来表达。

f(n)= pr(第一次抛反面的个数)×f(n-1) +
pr(第一次抛掷正面，第二次抛掷反面)×f(n-2) +
pr(前两次抛掷的正面，第三次抛掷的反面)×f(n-3) +
pr(前三次抛掷的正面，第三次抛掷的反面)×f(n-4) +
pr(前四次抛掷的正面，第四次抛掷的反面)×f(n-5) +
pr(前五次抛掷的正面，第五次抛掷的反面)×f(n-6) +
pr(前六次抛掷的正面，第六次抛掷的反面)×f(n-7) +
pr(前 7 次抛掷的正面次数) =

（1/2）×f（n-1）+
（1/2） 2 ×f（n-2）+
（1/2） 3 ×f（n-3）+
（1/2） 4 ×f（n-4）+
（1/2） 5 ×f（n-5）+
（1/2） 6 ×f（n-6）+
（1/2） 7 × f(n-7) +
（1/2） 7

在哪里：
f(n)=n次翻转内成功的概率。
pr(x)=x发生的概率。

电子表格非常适合解决这类问题。在下面的电子表格截图中，我在单元格 B2 到 B8 中输入了概率 0，因为在 6 次或更少的抛掷次数内不可能连续出现 7 次正面。在单元格 B9 中，我输入了以下公式：

=(1/2)*B8+(1/2)^2*B7+(1/2)^3*B6+(1/2)^4*B5+(1/2)^5*B4+(1/2)^6*B3+(1/2)^7*B2+(1/2)^7

然后我把它从单元格B10复制粘贴到单元格B102，相当于翻转100次。这个概率是0.317520。随机模拟证实了这一点。

顺便说一下，如果你想知道的话，至少连续出现7次正面或反面的概率是54.23%。连续出现一次或多次正面正好7次的概率是17.29%。

这篇文章最初发表后，Rick Percy 与我分享了他的矩阵代数解法。以下是我自己的解释。我假设读者已经了解矩阵代数的基础知识。

首先，在任何时候，弹球器可能处于八种状态：

p 1 = 成功的概率，假设从当前点开始你需要再掷出 7 个正面。
p 2 = 成功的概率，假设你需要从当前点开始再出现 6 个正面。
p 3 = 成功的概率，假设您需要从当前点开始再出现 5 个正面。
p 4 = 成功的概率，假设您需要从当前点开始再出现 4 个正面。
p 5 = 成功的概率，假设您需要从当前点开始再出现 3 个正面。
p 6 = 成功的概率，假设您需要从当前点开始再出现 2 个正面。
p 7 = 成功的概率，假设您需要从当前点开始再出现 1 个正面。
p 8 = 成功的概率，假设您不需要更多的正面 = 1。

我们将矩阵 S n定义为第 n次翻转后处于每个状态的概率。S 0表示第一次翻转之前的概率，其中有 100% 的概率处于状态 0。因此 S 0 =

 | 1 0 0 0 0 0 0 0 |

令 T 为两次连续翻转的变换矩阵，即从 S n到 S n+1 ，其中 S n+1 = T × S n

  • 如果您处于状态 1，那么在一次翻转之后，您有 0.5 的机会处于状态 2（正面），并且有 0.5 的机会保持在状态 1（反面）。
  • 如果您处于状态 2，那么在一次翻转之后，您有 0.5 的机会处于状态 3（正面），并且有 0.5 的机会返回到状态 1（反面）。
  • 如果您处于状态 3，那么在一次翻转之后，您有 0.5 的机会处于状态 4（正面），并且有 0.5 的机会返回到状态 1（反面）。
  • 如果您处于状态 4，那么在一次翻转之后，您有 0.5 的机会处于状态 5（正面），并且有 0.5 的机会返回到状态 1（反面）。
  • 如果您处于状态 5，那么在一次翻转之后，您有 0.5 的机会处于状态 6（正面），并且有 0.5 的机会返回到状态 1（反面）。
  • 如果您处于状态 6，那么在一次翻转之后，您有 0.5 的机会处于状态 7（正面），并且有 0.5 的机会返回到状态 1（反面）。
  • 如果您处于状态 7，那么在一次翻转之后，您有 0.5 的机会处于状态 8（正面），并且有 0.5 的机会返回到状态 1（反面）。
  • 如果您处于状态 8，那么您就取得了成功，并且将以 1.0 的概率保持在状态 8。

将所有这些放在转换矩阵 T = 的形式中

| 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 |
| 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 |
| 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 |

为了得到一次翻转后每个状态的概率...

（1） S1 = S0 ×T

翻转两次之后怎么样？

（2） S2 = S1 ×T

让我们用方程 (2) 代替方程 (1)...

（3） S2 = S0 ×T×T= S0 × T2

那么翻转 3 次之后呢？

（4） S3 = S2 ×T

将方程 (3) 代入方程 (4)...

（5） S3 = S0 × T2 ×T= S0 × T3

我们可以一直这样做，直到第 100 次翻转之后的状态......

S 100 = S 0 × T 100

那么，T 100是多少？在计算机出现之前，弄清楚这些数字一定非常困难。然而，借助 Excel 的 MMULT 函数，经过大量的复制粘贴，我们发现 T 100 =

| 0.342616 0.171999 0.086347 0.043347 0.021761 0.010924 0.005484 0.317520 |
| 0.339863 0.170617 0.085653 0.042999 0.021586 0.010837 0.005440 0.323005 |
| 0.334379 0.167864 0.084271 0.042305 0.021238 0.010662 0.005352 0.333929 |
| 0.323454 0.162380 0.081517 0.040923 0.020544 0.010313 0.005178 0.355690 |
| 0.301693 0.151455 0.076033 0.038170 0.019162 0.009620 0.004829 0.399038 |
| 0.258346 0.129694 0.065109 0.032686 0.016409 0.008237 0.004135 0.485384 |
| 0.171999 0.086347 0.043347 0.021761 0.010924 0.005484 0.002753 0.657384 |
| 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 |

右上角的项显示了翻转 100 次后处于状态 8 的概率，即 0.317520。

最近，托斯卡纳赌场推出了一项促销活动：如果你在30天内拿到30张黑杰克，就能赢得100美元的奖金。起初，最低下注金额是5美元，就能在卡上盖章。后来我听说最低下注金额提高到了15美元。我给赌场经理写了一封投诉信，信中写道：

如果这是真的，我只是想表达我对这个变化的失望。我从来没有机会利用这个促销活动，现在也怀疑自己是否还能利用。拿到30张黑杰克所需的时间（据说大约需要连续玩8个小时）似乎不合理，因为促销活动的奖金仍然只有100美元。

以下是我收到的回复：

回复您关于二十一点停牌促销活动的电子邮件，我不确定您是从哪里获得关于完成停牌卡需要多长时间的信息的。我们见过玩家在不到四个小时内就完成了这张卡。而且，您有三十天的时间来完成这张卡。我希望您理解，这并不是一项在这么短的时间内无法完成的任务。感谢您的来信。很高兴收到客户的反馈。希望您能尝试一下并赢取一些奖金！

四小时内拿到 30 张黑杰克的概率是多少？

nyuhoosier

根据我的游戏比较，二十一点玩家每小时大约玩70手牌。六副牌游戏中出现二十一点的概率是24*96/combin(312,2)=4.75%。我假设二十一点平局仍然会盖章。所以大约需要30/0.0475=632手牌才能填满牌，也就是9.02小时。

假设玩了280手牌，那么在4小时内完成牌局的概率是3万分之一，前提是每次只玩一手牌。我怀疑任何在4小时内达到目标的玩家，每次至少都玩了两手牌。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。