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请问巫师 #226

已知球队A每次⽐赛平均得到1.5分, 球队B每次⽐赛平均得到1.2分, AB两 队⽐赛的机会如何:

1) A得分超过B
2) B得分超过A
3) ⽐赛以和局结束。

所提供的资讯⾜以计算每次结果的机率吗?

Dimitar from Sophia, Bulgaria

个别分数应该不是有关联、不应纳⼊计算, ⽽每⼀⽀球队个别的分数与平 均分数同样重要。如果我们可以假设1.5与1.2为⽐赛的期望得分, 考虑攻 ⽅与守⽅两队, ⽽我们忽略掉相关的因素, 那么我们能够得到不错的估算值 在你的三种机率上。 Super Bowl超级杯有许多像是这样的⽐例, 但是基于 谁将会有更多的touchdowns达阵的分、field goals射⻔得分、 interceptions拦截等等。
第⼀步是运⽤Poisson distribution波以松分布去估计每队每次得分的机 率。通⽤的机率公式为⼀个球队有g次得分, 平均为m, 亦即em × mg/g!. 在 Excel, 你可以套⽤公式poisson(g,m,0). 以下的列表显⽰针对两⽀球队0到 10次得分的机率, 运⽤这个公式。

每⽀球队0到8次得分的机率

得分次数 球队A 球队B
0 0.223130 0.301194
1 0.334695 0.361433
2 0.251021 0.216860
3 0.125511 0.086744
4 0.047067 0.026023
5 0.014120 0.006246
6 0.003530 0.001249
7 0.000756 0.000214
8 0.000142 0.000032

下⼀步相当乏味, 但是你必须做出每⽀球队0到8次得分的81种可能组合的 matrix矩阵。这是将机率乘上球队A的x得分、球队B的y得分, 从以上列表 的数值。以下的列表显⽰每种得分组合从0-0到8-8的机率。

合并两⽀球队的机率Expand

球队A得分次数 球队B得分次数
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.067206 0.080647 0.048388 0.019355 0.005807 0.001394 0.000279 0.000048 0.000007
1 0.100808 0.120970 0.072582 0.029033 0.008710 0.00209 0.000418 0.000072 0.000011
2 0.075606 0.090727 0.054436 0.021775 0.006532 0.001568 0.000314 0.000054 0.000008
3 0.037803 0.045364 0.027218 0.010887 0.003266 0.000784 0.000157 0.000027 0.000004
4 0.014176 0.017011 0.010207 0.004083 0.001225 0.000294 0.000059 0.000010 0.000002
5 0.004253 0.005103 0.003062 0.001225 0.000367 0.000088 0.000018 0.000003 0
6 0.001063 0.001276 0.000766 0.000306 0.000092 0.000022 0.000004 0.000001 0
7 0.000228 0.000273 0.000164 0.000066 0.000020 0.000005 0.000001 0 0
8 0.000043 0.000051 0.000031 0.000012 0.000004 0.000001 0 0 0

下个列表显⽰根据每种得分组合的赢家, T代表tie和局。

合并两⽀球队的赢家

球队A得分次数 球队B得分次数
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 T B B B B B B B B
1 A T B B B B B B B
2 A A T B B B B B B
3 A A A T B B B B B
4 A A A A T B B B B
5 A A A A A T B B B
6 A A A A A A T B B
7 A A A A A A A T B
8 A A A A A A A A T

最后, 你可以运⽤Excel的sumif函数去加总相关的栏位、针对所有三种可 能的押注结果。在这个案例的机率为:

A队赢 = 44.14%
B队赢 = 30.37%
和局 = 25.48%

附录C在Stanford Wong所著的 Sharp Sports Betting精准运动签赌 给出像 这类 赢/输/和 的押注机率。针对这个例⼦, 他列出44%, 30%, 25%. 如果 任何⼈知道关于这种问题的简单公式, 愿闻其详。

再接再厉:: 我收到来⾃Bob P.的⼀封电邮, 每次有数学议题他总会紧盯在 后。这⾥是他所写的。

检视不相关的2个Poissons分布。它是Skellam (对我来说是新词)。

反正, 这个问题可以标⽰为 P(Z=0), P(Z>0), P(Z<0), Z为Skellam的参数 1.5 与 1.2.

如果你还没做过的话, 你应该很乐意知道

P(Tie) = P(Z=0) = .254817

P(A beats B) = P(Z>0) = .441465

P(B beats A) = P(Z<0) = 1 - .254817 - .441465 = .303718

⼏乎就是你的答案。

输⼊Skellam的维基百科有提到Bessel functions⻉索函数, 那是我很怕再 算下去的部分。所以, 我就摘录Bob的话语来总结这个命题。