请问巫师 #226
我发现一家在线赌场有两条有趣的二十一点规则。第一条是，玩家21点对抗庄家21点时，玩家将平局。第二条是，二十一点平局时，赔率为3比2。这些规则对赌场优势有什么影响？
基于六副牌，我证明，如果玩家持有21点，而对手是黑杰克，赌场优势会降低0.37%。如果玩家持有黑杰克，赔率为3比2，赌场优势会降低0.32%。无需调整策略。
关于您关于NBA投注的页面，我有一个后续问题。您提到一分净胜的概率很低。根据概率法则，这合乎逻辑吗？根据basketball-reference.com的数据，球队的最佳球员通常两分球命中率为60%，三分球命中率为40%。因此，在我看来，教练应该选择立即投进三分球（这样就有40%的胜率），而不是选择30%的两分球胜率（命中率60%，加时赛获胜率50%）。
这或许可以抵消一个因素：在比赛最后几秒尝试两分球，你更有可能被犯规，轻松拿下两分。但即便如此，最优秀的罚球手的罚球命中率也高达85%左右，这意味着两次罚球命中的概率为72%，其次是加时赛获胜的概率为50%，总计36%。你对此有何看法？
希望你开心。我对篮球规则和策略的了解很薄弱，所以我问了一些比我强的朋友，每次得到的答案都不一样。有些答案甚至截然相反。我从讨论中得出了两个结论：(1) NBA 的整体投篮命中率大概在 50% 左右（来源）；(2) 投两分球时，投手有可能被犯规，但最终还是会投中。抱歉，我只能给出更准确的答案了。
我和妻子都是老虎机的常客，我们注意到，每当赌场引进新的老虎机时，“好彩”或中奖的赔付，或者奖励游戏的出现频率似乎会更高。一旦游戏“吸引你”，它就会像关门大吉一样，中奖和奖励回合也会减少。赌场可以合法地控制老虎机的中奖金额或进入奖励回合的次数吗？
如果你的意思是赌场在你玩游戏的时候就改变游戏赔率，那我只能说这只是个传说。要改变游戏赔率，老虎机制造商必须打开游戏并更换EPROM芯片。对于服务器游戏，由于可以远程操作，因此规定必须暂停游戏一段时间才能进行任何更改。
如果你的意思是赌场会在最初几天里把老虎机的设置放宽一些，以吸引新玩家，然后把EPROM的设置改得更严格，那我也不同意。这种做法很容易做到，而且合法，但我对此表示怀疑。我在老虎机调查中发现，任何一家赌场对老虎机的设置都相当一致。
已知球队A每次⽐赛平均得到1.5分, 球队B每次⽐赛平均得到1.2分, AB两 队⽐赛的机会如何:
1) A得分超过B
2) B得分超过A
3) ⽐赛以和局结束。
所提供的资讯⾜以计算每次结果的机率吗？
个别分数应该不是有关联、不应纳⼊计算, ⽽每⼀⽀球队个别的分数与平
均分数同样重要。如果我们可以假设1.5与1.2为⽐赛的期望得分, 考虑攻
⽅与守⽅两队, ⽽我们忽略掉相关的因素, 那么我们能够得到不错的估算值
在你的三种机率上。 Super Bowl超级杯有许多像是这样的⽐例, 但是基于
谁将会有更多的touchdowns达阵的分、field goals射⻔得分、
interceptions拦截等等。
第⼀步是运⽤Poisson distribution波以松分布去估计每队每次得分的机
率。通⽤的机率公式为⼀个球队有g次得分, 平均为m, 亦即em × mg/g!. 在
Excel, 你可以套⽤公式poisson(g,m,0). 以下的列表显⽰针对两⽀球队0到
10次得分的机率, 运⽤这个公式。
每⽀球队0到8次得分的机率
| 得分次数 | 球队A | 球队B |
| 0 | 0.223130 | 0.301194 |
| 1 | 0.334695 | 0.361433 |
| 2 | 0.251021 | 0.216860 |
| 3 | 0.125511 | 0.086744 |
| 4 | 0.047067 | 0.026023 |
| 5 | 0.014120 | 0.006246 |
| 6 | 0.003530 | 0.001249 |
| 7 | 0.000756 | 0.000214 |
| 8 | 0.000142 | 0.000032 |
下⼀步相当乏味, 但是你必须做出每⽀球队0到8次得分的81种可能组合的 matrix矩阵。这是将机率乘上球队A的x得分、球队B的y得分, 从以上列表 的数值。以下的列表显⽰每种得分组合从0-0到8-8的机率。
下个列表显⽰根据每种得分组合的赢家, T代表tie和局。
合并两⽀球队的赢家
| 球队A得分次数 | 球队B得分次数 | ||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 0 | T | B | B | B | B | B | B | B | B |
| 1 | A | T | B | B | B | B | B | B | B |
| 2 | A | A | T | B | B | B | B | B | B |
| 3 | A | A | A | T | B | B | B | B | B |
| 4 | A | A | A | A | T | B | B | B | B |
| 5 | A | A | A | A | A | T | B | B | B |
| 6 | A | A | A | A | A | A | T | B | B |
| 7 | A | A | A | A | A | A | A | T | B |
| 8 | A | A | A | A | A | A | A | A | T |
最后, 你可以运⽤Excel的sumif函数去加总相关的栏位、针对所有三种可 能的押注结果。在这个案例的机率为:
A队赢 = 44.14%
B队赢 = 30.37%
和局 = 25.48%
附录C在Stanford Wong所著的 Sharp Sports Betting精准运动签赌 给出像 这类 赢/输/和 的押注机率。针对这个例⼦, 他列出44%, 30%, 25%. 如果 任何⼈知道关于这种问题的简单公式, 愿闻其详。
再接再厉:: 我收到来⾃Bob P.的⼀封电邮, 每次有数学议题他总会紧盯在 后。这⾥是他所写的。
检视不相关的2个Poissons分布。它是Skellam (对我来说是新词)。反正, 这个问题可以标⽰为 P(Z=0), P(Z>0), P(Z<0), Z为Skellam的参数 1.5 与 1.2.
如果你还没做过的话, 你应该很乐意知道
P(Tie) = P(Z=0) = .254817
P(A beats B) = P(Z>0) = .441465
P(B beats A) = P(Z<0) = 1 - .254817 - .441465 = .303718
⼏乎就是你的答案。
输⼊Skellam的维基百科有提到Bessel functions⻉索函数, 那是我很怕再 算下去的部分。所以, 我就摘录Bob的话语来总结这个命题。
掷两个骰子，直到总数为 12 或连续两次总数为 7。首先掷出 12 的概率是多少？
答案和解决方案可以在我的配套网站mathproblems.info问题 201 上找到。