球员道具的方差和资金管理

了解道具投注中的差异

即使预期值为正，短期结果也会因波动而出现变化。60% 的胜率（在体育博彩中非常出色）仍然意味着你每投注 10 次就会输掉 4 次。从数学角度理解波动有助于设定合理的预期。

二元结果的标准差

玩家道具投注的结果通常是二元的：赢或输。对于获胜概率为 p 的单次投注，结果的标准差为：

这衡量的是单次投注结果的不确定性。例如，对于概率为 60% 的投注：

标准差为 0.49，相对于期望值 0.20 而言，这实际上相当高（假设以 +100 的赔率投注，胜率为 60%）。

多次投注的标准差

如果你进行 n 次具有相同特征的独立投注，则总结果的标准差为：

关键洞察：标准差与投注次数的平方根成正比。如果你投注 100 次而不是 1 次，你的标准差会增加 √100 = 10 倍，但你的期望值会增加 100 倍。这就是为什么优势赌徒会尽可能多地进行正期望值投注——期望值的增长速度远超不确定性的增长速度。

变异系数

变异系数（CV）是一个有用的指标，它衡量的是相对不确定性：

其中 μ 为期望值。对于 n 次投注：

CV 随着 √n 的增大而减小，这意味着随着投注次数的增加，相对不确定性会减小。这就是大数定律的数学基础：经过足够多的重复，实际结果会收敛于期望值。

凯利准则：最优投注额

凯利准则由约翰·凯利于 1956 年提出，它提供了一个数学公式，用于确定最佳投注规模，以最大限度地提高长期资金增长，同时控制破产风险。

公式

对于胜率为 p、赔率为 b（每投注一美元若赢则盈利）的投注，最佳投注资金比例为：

在哪里：

• f* = 投注资金的最佳比例
• b = 小数赔率 - 1（赢了每美元的利润）
• p = 获胜的真实概率
• q = 1 - p（失败的概率）

推导（简化版）

凯利通过最大化财富的期望对数推导出了这个结论。如果你投注资金 B 的 f 倍：

• 如果你赢了（概率 p）：新的资金 = B(1 + fb)
• 如果你输了（概率 q）：新的资金 = B(1 - f)

预期对数财富：

为了最大化，对 f 求导并令其等于零：

解得 f：

该公式可最大限度地提高您的资金随时间的几何增长率。

分数凯利法：保守方法

全凯利投注法能最大程度地提高长期收益，但可能导致资金波动较大。大多数认真的投注者会使用部分凯利投注法来降低波动性，但代价是增长速度会较慢。

常用分数

• 凯利全倍数（1.0倍）：最大增长，高波动性
• 半凯利法（0.5倍）：解释75%的增长率，解释50%的方差
• 四分之一凯利法（0.25倍）： 50%的增长率，25%的方差

分数凯利公式：

为什么要使用分数凯利法？

1. 估计误差：如果你的概率估计有误，完全凯利估计可能过于激进。部分凯利估计则提供了安全裕度。
2. 降低波动性：半凯利策略大幅降低了资金波动，同时保留了大部分增长。
3. 心理安慰：在连败期间，较小的投注额更容易坚持下去。
4. 同时进行多项投注：如果您同时投注多个特殊项目，分数凯利模型可以考虑投资组合风险。

例如：半凯利与全凯利

以我们之前的例子为例，赔率为-110，胜率为55%：

资金1000美元：

• 全凯利投注：每注 55 美元
• 半凯利：每注 27.50 美元
• 四分之一凯利：每注 13.75 美元

大多数职业博彩玩家正是出于这些原因而使用四分之一凯利赔率和半凯利赔率。

破产风险：了解资金生存之道

破产风险是指你的资金在恢复之前跌至零（或某个最低阈值）的概率。即使预期收益为正，如果你下注过于激进，也始终存在破产的风险。

简化公式

对于期望值为正的重复投注，破产风险的近似值为：

在哪里：

• EV = 每次投注的预期价值（以美元计）
• N = 资金规模（美元）
• σ² = 每次投注的方差

赌徒破产公式（离散型）

为了更精确地计算固定投注额，假设初始资金为 B，投注额为 b：

这是正期望值（p > q）下赌徒破产的标准近似值。它估计的是在优势显现之前输光所有资金的概率。

示例

认为：

• 资金：1000 美元
• 投注额：50 美元（资金的 5%）
• 获胜概率：55%
• 赔率：-110（赢 45.45 美元，输 50 美元）

输光所有赌注所需的次数：1000 美元 / 50 美元 = 20 次

即使下注 5% 的凯利式赌注并获得正期望值，在你的优势显现之前，也有大约 2% 的概率破产。

凯利如何将破产风险降至最低

凯利投注法的妙处在于它能根据资金自动调整投注额。资金越多，投注额越大；资金越少，投注额越小。这种动态调整意味着你永远不会让自己陷入困境。

采用真正的凯利投注法（持续调整投注额），随着时间的推移，破产风险会趋近于零（尽管在有限时间内永远不会完全为零）。这就是为什么凯利投注法在数学上是最优的：它既能最大化收益，又能基本消除长期投注者的破产风险。

投资组合效应：投注多种道具

实际上，你不会一次只投注一个项目。你会同时进行多个投注。这会产生投资组合效应，从而影响最佳投注额。

来自不同游戏的独立道具

如果你对不同比赛（不同球队、不同运动项目）的特殊投注进行投注，这些投注近似独立。投资组合理论告诉我们，投资组合的方差为：

对于 n 个相同的赌注：

这意味着，如果你同时对四个独立的投注项目进行凯利投注，你的资金波动幅度将是单次投注的两倍。为了保持相同的风险水平，你应该将每次投注的凯利投注额减半。

独立投注的一般规则

如果您计划平均同时进行 n 个独立的投注：

例如：

• 一次下注 1 次 → 1.0 倍凯利赔率
• 一次下注 4 次 → 0.5 倍凯利（半凯利）
• 一次下注 9 次 → 0.33 倍凯利赔率（三分之一凯利赔率）
• 一次下注 16 次 → 0.25 倍凯利（四分之一凯利）

来自同一游戏的相关道具

正如我们在第四篇文章中讨论的那样，同一场比赛中的各种投注项目是相关的。如果你对同一场比赛的多个投注项目进行投注，你将承担额外的风险，因为它们的输赢很可能同时发生。

对于关联投注，应进一步减少投注额。大致原则如下：

• 低相关性（ρ < 0.2）：视为独立事件
• 中等相关性（ρ = 0.2-0.5）：减少投注额25-50%
• 高相关性（ρ > 0.5）：减少投注额 50% 以上，或避免在同一局游戏中进行多次投注

相关凯利投注的精确数学原理很复杂，超出了本文的范围，但其原理很明确：相关性会增加风险，因此需要较小的投注额。

常见的资金管理错误

1. 赢钱后过度下注

“我刚刚连续赢了三场，让我增加赌注！”

问题：这违反了凯利原则。你应该只在资金增长时才增加投注额，而不是因为连胜就增加。三连胜可能是运气使然，而非技术证明。

2. 输钱后下注太少

“我连输五场了，应该小注慢慢来，等缓过来再说。”

问题：如果你的优势确实存在，那么在连败期间，你更应该坚持使用凯利投注法。因为连败而将投注额降低到凯利投注法以下，会损失你预期的收益增长。（但是，为了心理安慰而将投注额降低到部分凯利投注法是可以接受的。）

3. 利用恐慌性货币

“我每项投注下注10美元，因为我担心我的资金。”

问题：如果你不敢下注合适的金额，说明你的资金太少，或者你实际上并没有优势。要么增加资金，要么就别下注。

4. 忽略投资组合效应

“我愿意同时押注凯利5%的胜率，投注10个不同的道具。”

问题：你实际承担的风险是你预想的√10 ≈ 3.16倍。你的总仓位相当于在一注赌注中投入了15.8%的凯利筹码——过于激进。

5. 永不重新计算

“我一开始投入了1000美元，每次投注都下注50美元。”

问题：如果你的资金降至 500 美元，下注 50 美元（当前资金的 10%）过于鲁莽。如果资金增至 2000 美元，下注 50 美元（2.5%）又过于保守。应根据资金变化调整下注金额。

6. 高估边缘

“我有六成把握赢下这场赌局，所以我会下重注。”

问题：正如文章 2 所述，概率估计存在不确定性。如果实际概率只有 53%，却“确信”自己有 60% 的把握，就会导致过度下注。因此，应使用保守估计和分数凯利概率。