球员道具投注的预期价值

期望值：数学定义

期望值是所有可能结果的加权平均值，其中每个结果的权重为其发生的概率。

通用公式

对于任何有多种可能结果的赌注：

其中求和是对所有可能的结果 i 进行的。

二元投注公式（赢或输）

大多数玩家道具投注都是二元的：要么赢，要么输。对于这类投注，公式可以简化为：

由于我们通常下注 1 美元（或者说，所有赌注都按每美元计算），而且如果我们输了，就会输掉全部赌注，所以就变成了：

由于 P_lose = 1 - P_win，我们可以写成：

了解组成部分

• P_win：赢得赌注的真实概率（您的估计值，而非市场估计值）
• 利润：如果您赢了，每投注一美元您能赚多少钱（以十进制赔率表示：十进制赔率 - 1）
• EV > 0：预期值为正——预期在多次重复操作后能够盈利
• 期望值 = 0：盈亏平衡投注——无论哪一方都没有优势
• EV < 0：负期望值——预期在多次重复中会亏损

您的估价与市场行情对比

要使投注具有正的预期价值，你的概率估计必须与市场概率在正确的方向上有所不同（并且比市场概率更准确）。

关系

从第一篇文章中我们了解到，-110 的赔率意味着 52.4% 的概率（包含佣金）。在平衡的双向市场中，公平概率（去除佣金）约为 50%。

例如：

• 市场隐含概率（含佣金）： 52.4%
• 市场公平概率（估计）：约50%
• 您的估算： 55%

你认为真实概率是 55%，而市场（扣除佣金后）认为更接近 50%。这 5 个百分点的优势造就了正的预期价值。

盈亏平衡概率

赔率为 -110 的赌注以多大的真实概率会达到盈亏平衡（EV = 0）？

在-110的赔率下，你需要52.4%的真实胜率才能达到盈亏平衡。这与我们在第一篇文章中计算出的隐含概率完全一致。要想获得正期望值，你估计的真实胜率必须超过52.4%。

一般盈亏平衡公式

对于任何赔率，盈亏平衡概率为：

这在数学上等价于第 1 条中隐含的概率。

利用历史数据估算真实概率

EV 分析中最根本的挑战：如何估计真实概率？

最常见的方法是使用球员过去表现的历史数据。

朴素方法

假设球员 A 本赛季打了 50 场比赛，其中 28 场比赛得分超过 25.5 分。

56% 就是我们的概率估计值吗？别急。这个样本比例只是我们的起点，我们还需要考虑以下因素：

1. 样本量不确定性
2. 环境差异（对手实力、主客场、休息日等）
3. 近期趋势与赛季平均水平对比
4. 均值回归

样本量和标准误差

由于只有 50 场比赛，56% 的估计值存在相当大的不确定性。我们使用比例的标准误差来量化这种不确定性：

其中 p 为样本比例，n 为样本容量。

例如：

标准误差为7个百分点。这属于相当大的不确定性！

置信区间

95% 置信区间约为：

解读：在 95% 的置信度下，真实概率介于 42.3% 和 69.7% 之间。这是一个非常大的范围！在低端 (42.3%)，该投注的期望值 (EV) 非常低。在高端 (69.7%)，该投注的期望值 (+EV) 非常高。

正是由于这种不确定性，样本量在概率估计中才显得如此重要。

你需要多少数据？

下表显示了不同样本量的标准误差和 95% 置信区间宽度，假设 p = 0.50（最大不确定性出现在 p = 0.50 处）。

关键观察结果

• 10场比赛的数据： 95%置信区间为±31%，使得概率估计几乎毫无用处。
• 基于 50 场比赛的数据： 95% 置信区间为 ±14%，仍然存在相当大的不确定性。
• 基于 200 场比赛的数据： 95% 置信区间为 ±7%，对于估计而言是合理的。
• 基于1000场游戏： 95%置信区间为±3%，精度良好

问题在于：大多数球员在单一环境下并没有超过200场比赛的样本。NBA赛季只有82场比赛，NFL赛季只有17场比赛。这种有限的数据量给概率估计带来了根本性的不确定性。

完整的道具评估框架

综上所述，以下是评估任何球员属性的分步框架：

第一步：提取市场信息

• 将赔率转换为隐含概率
• 计算博彩公司抽成比例的佣金
• 估算公平概率（去除抽水）
• 确定盈亏平衡概率

步骤二：收集历史数据

• 赛季总表现：该球员有多少次超过了这条线？
• 样本量：需要多少场比赛？（越多越好）
• 计算样本比例和标准误差
• 构建估计值的置信区间

步骤三：进行情境调整

• 相关类别中的对手实力
• 主客场对比（如果样本量足够）
• 休息日和背靠背比赛
• 伤病情况（球员及队友）
• 近期趋势（但由于样本量小，需谨慎看待）

步骤 4：形成概率估计

• 充分考虑整个赛季的数据（大样本）
• 适当调整以应对强烈的背景因素
• 考虑连胜期间的均值回归
• 保持保守：如果不确定，则倾向于市场概率。

步骤五：计算期望值

• 使用公式：EV = (盈利成本 × 利润) - (亏损成本 × 1)
• 进行敏感性分析：如果概率为±5%会怎样？
• 考虑置信区间：可能的期望值范围

第六步：做出决定

• 只有当预期收益明显为正（例如，+3% 或更高）时才下注。
• 放弃那些不确定性高的边缘交易机会。
• 永远不要仅仅因为“感觉”就下注。
• 追踪你的投注并查看结果，以校准你的预测。

重要提示：此框架并不能保证盈利。它是一种系统性的概率思维方法。即使方法完美，波动性也会导致盈亏。目标是在多次投注中获得正期望值，而不是赢得每一场投注。

电动汽车估算中的常见错误

1. 小样本权重过高

“他最近5场比赛中有4场得分超过预设分数，所以他今晚很可能也会超过预设分数！”

问题： 5场比赛的样本量太小。标准误差约为22%，使得估计值几乎毫无意义。4胜1负的战绩很可能只是一个运气好的50%胜率球员取得的。

2. 忽略均值回归

“他最近10场比赛的三分球命中率达到了50%，而职业生涯平均命中率只有35%。他显然进步很大！”

问题：小样本造成的表象趋势实际上只是噪声。除非有技术性的原因（例如伤病恢复、教练更换），否则应假定成绩会回归职业生涯平均水平。

3. 虚假精确度

“根据我的模型，我估计概率正好是 53.7%。”

问题：在数据有限的情况下，声称精度达到0.1%是没有意义的。你的不确定度很可能在±5%到10%之间。请在分析中考虑这一点。

4. 确认偏差

“我真的很喜欢这个结论，让我找找数据来佐证。”

问题：你总能找到精心挑选的统计数据来支持任何观点。要使用系统化的框架并始终如一地遵循它，即使它与你的直觉相悖。

5.忽略相关性

“我投注了同一场比赛中的五个不同的道具，每个道具都是独立的正期望值！”

问题：同一场比赛中的投注项目之间存在相关性。如果比赛结果与预期不符（例如一边倒、低比分等），多个投注项目可能会同时亏损。这会带来投资组合风险，我们将在第三篇文章中讨论；相关性的数学原理将在第四篇文章中详细阐述。

6. 未跟踪结果

“我觉得我盈利了，但我没有做账。”

问题：没有数据，你就无法改进概率估算，也无法判断你的方法是否有效。追踪每一笔投注：日期、投注项目、赔率、你的估算概率、结果以及盈亏情况。

电动汽车道具投注的实用建议

1. 专注于你的优势

不要仅仅因为你持有某种观点就下注。只有当你拥有真正优于市场的信息或分析优势时才应该下注。如果你使用的数据和其他人一样，那么你可能并不具备优势。

2. 不确定时，小额投注

当你的概率估计置信区间较宽时，应减少投注额（或干脆不投注）。将最大额的投注留给那些你对估计结果充满信心的情况。我们将在第三篇文章中用凯利准则对此进行形式化阐述，该准则可以从数学上确定最佳投注额。

3. 专业化

与其投注多种体育项目/联赛，不如专注于一两项，从而培养真正的专业知识。观看每一场比赛，追踪各种背景因素，建立统计模型。专业化才能让你获得市场所不具备的优势。

4. 追踪所有信息

保留详细记录：

• 日期和道具描述
• 赔率和你的估计概率
• 你对概率估计的理由
• 结果（赢/输）和利润/亏损
• 实际球员表现

投注超过100次后，分析一下：你的概率估计是否准确？当你估计概率为55%时，实际命中率是否接近55%？如果不是，请调整你的方法。

5. 接受差异

即使采用完美的正期望值投注，由于波动性，你也会经历连败。60%的胜率（非常棒！）仍然意味着每100次投注中会有40次亏损。不要因为一次糟糕的战绩就放弃稳健的策略。我们将在第三篇文章中深入探讨波动性。

6. 知道何时该离开

如果经过 100 多笔精心追踪的投注后，你仍然持续亏损，那么以下两种情况之一成立：

1. 你运气不好（虽然有可能，但投注超过100次后发生的概率很低）。
2. 你实际上并没有优势（更有可能）。

对自己诚实一点。大多数赌徒并没有真正的优势。这并非道德败坏——只是在有效市场中，想要战胜对手非常困难。